（上海财经大学经济学院）

【摘要】本文采用时间序列核平滑技术和跳消除方法，对带Poisson跳和杠杆效应的资产格时点波动（Spot Volatility）进行估计。采用随机阵列极限理论，证明了估计量存在杠杆效应时的一致性和渐进正态性，采用门限方法消除资产价格中Poisson跳对时点波动估计的影响，对现有文献中资产价格连续并且无杠杆效应假设下的时点波动估计量进行了实质性改进和推广。本文分析估计量的有限样本偏差并给出了纠偏的方法。蒙特卡洛模拟表明，本文给出的估计量明显优于文献中现有估计量。

关键词  时点波动  Poisson跳  杠杆效应  核平滑

中图分类号  F830.9         文献标识码  A

Nonparametric Estimation for Spot Volatility of

Asset Price with Leverage Effects and Poisson Jumps

Abstract: Using kernel-smoothing technique and threshold jump-annihilating method, I propose a new spot volatility estimator of asset prices with leverage effects and presence of Poisson jumps. The consistency and asymptotic normality is established. I analyze the finite-sample bias of the estimator and give a bias-correction version. An extensive Monte Carlo simulation shows that the estimator in the paper outperforms the other in literature significantly.

Key words: Spot Volatility;  Poisson Jumps;  Leverage Effects;  Kernel Smoothing

引    言

作为金融资产的风险度量，波动（Volatility）在金融理论和实践起着重要作用，是金融学金融计量经济学的重点研究领域之一。实证研究表明，风险资产价格的波动具有随机性并随时间变化，金融理论把一个时间点处的波动称为时点波动（Spot Volatility），并将时点波动看做随机过程，即随机波动过程[2]。金融学中用方差计量波动，方差的不可观测性使波动成为隐变量（Latent Variable），需要通过可观测的资产价格样本间接进行估计和推断，文献中常用自回归条件异方差（ARCH）类模型和随机波动（SV）模型描述价格波动的动态特征，此类模型是离散时间模型，用参数模型刻画波动变化，适用于较低频率数据（如日数据）的建模（Andersen 等，2010）。

电子交易技术和手段的发展使更短时间内的频繁交易变为现实，投资活动在更高频率上进行，投资组合管理、风险管理和投机套利活动都要求对金融高频数据中包含的规律性进行研究。近年来，随着大量高频交易数据的获取，金融学和金融计量经济学对高频数据进行深入研究，探求更短时间间隔内资产价格波动的动态规律（Engle，2010）。Anderson等（2003, 2001）提出了已实现波动（realized volatility, 以下称RV）的概念并对其性质和应用进行广泛研究，研究结果表明，RV很好地利用了高频数据中包含的波动信息。在此基础上，Barndorff-Nielson和Shephard（2004，2006）和Mancini（2009）又分别提出了双幂变差（Bipower Variation，BPV）和门限幂变差（Threshold Power Variation，TPV）的概念，用来估计资产价格连续部分的波动，即积分方差（Integrated Variance，IV），将价格的连续波动与跳波动分离，并应用于风险管理和资产定价。

除特定时间段内的总波动外，资产价格在各个时刻的时点波动的估计在理论和应用中也十分重要。作为随机过程，时点波动描述了资产价格风险的动态变化规律，是资产定价尤其是衍生品定价的状态变量，也是风险管理中需要考虑的重要因素。此外，金融计量研究中往往用时点波动作为构造相关统计量的输入变量，比如Lee和Mykland（2008）在跳检验统计量构造中用时点标波动的平方根对相邻两笔交易的价格改变量进行标准化，Reno和Bandi（2012）在研究风险资产价格的杠杆效应时也以时点波动为输入变量，而Bollerslev和Todorov（2011）在研究跳的尾部相关性时利用时点波动构造矩条件。鉴于时点波动不可观测的特点，人们尝试采用非参数方法估计时点波动并将估计值作为“样本”，使波动过程将变得“可观测”，并据此直接对波动进行分析或者以此作为进一步分析的基础，以克服波动的隐变量限制。Fan和Wang（2008）采用核平滑技术给出高维随机波动模型时点波动的一致估计及其渐进分布，Kristensen（2010）从RV的性质出发给出了一般扩散过程时点波动估计及其渐进分布。两种估计量均采用非参数核平滑技术，对资产价格模型的设定约束较少，与GARCH和SV模型相比，能够减少模型设定误差。但上述两种估计量存在重要缺陷，一是不允许资产价格模型存在杠杆效应（Leverage Effect），二是将价格设为时间的连续函数，没有考虑资产价格可能发生的跳跃（Jump）。金融理论和实践表明，资产价格冲击与波动冲击具有负相关性，利空消息对价格产生的负冲击会引起价格波动的增加，即所谓的杠杆效应。杠杆效应具有显著的经济学和金融学含义并普遍存在，已成为金融模型的标准设定，无杠杆效应条件下得出的时点波动估计量具有明显的局限性(Reno和Bandi, 2012)。另一方面，近年来基于高频数据的大量实证研究表明，资产价格中包含跳，跳的存在对波动估计具有显著影响（Andersen等，2007；沈根祥，2012）。要正确估计时点波动，必须剔除跳的影响。 

本文采用非参数方法对具有杠杆效应的跳扩散过程时点波动进行估计，对Fan和Wang（2008）和Kristensen（2010）的方法和结论进行实质性推广和改进。本文采用随机阵列部分和中心极限定理证明存在杠杆效应时时点波动估计量的一致性和渐进正态性，采用Mancini（2009）提出的门限技术消除资产价格Poisson跳对时点方差估计的影响。本文对估计量的有限样本偏差进行了详细分析，提出了纠偏的方法，同时对门限函数选取、最优带宽选定等问题进行了讨论。蒙特卡洛模拟结果表明，当资产价格过程存在跳时，本文提出的时点波动估计量的估计效果明显优于Bandi和Reno（2012）提出的基于已实现积分方差的时点波动估计量。

国内对金融资产价格波动的研究大多以离散时间GARCH模型和SV模型为主，近年来出现的基于高频数据的研究多为RV和IV的估计并以此为基础进行含跳资产价格过程的建模，关于时点波动估计的研究较少。在包含跳的收益建模方面，陈浪南和孙坚强（2010）采用GARCH跳模型对上证指数的实证研究表明，指数中的Poisson跳存在时变特征和群集效应，刘志东和陈晓静（2010）使用无限活跃Levy纯跳CGMY模型研究上证综指的跳规律，采用GMM方法估计模型参数，发现上证综指中跳活跃BG指数小于1。在利用高频数据对波动建模方面，李胜歌、张世英（2007）对已实现双幂变差和多幂变差的有效性进行分析，王春峰等（2008）基于BN-S方法对上证综指已实现方差进行分解，研究跳跃性方差的统计性质，采用HAR-RV-CJ模型对已实现方差进行预测，陈国进和王占海（2010）将沪深300指数的已实现方差分解为连续性方差和跳跃性方差并分别建立模型，杨科和陈浪南（2011）用门限双幂变差估计积分方差对BN-S方法进行改进后对上证综指5分钟高频数据进行跳存在性检验，并使用ACD模型和ARCH模型对波动率中的跳行为进行研究。沈根祥（2012）则采用门限双幂变差改进Lee和Mykland（2008）的方法，对沪深300指数中泊松跳跃行为进行了逐时点检验和统计分析。