（1.安徽工程大学；2.上海交通大学）

【摘要】：本文首先运用正态分布、带有位置-尺度参数的t分布、logistic分布、极值分布、 -stable分布和核密度估计对上证综指收益率分布进行拟合，结果表明核密度估计优于其他分布。其次，在进行尾部风险拟合和度量风险方面，通过设定相关指标，在显著性水平为1%时， -stable分布更适合衡量风险程度，在此基础上提出了调和 -stable分布，并得到一个同构表示解。最后，本文给出了蒙特卡洛 -stable分布模拟和经验值下的MDD、DaR和CDaR，并得到了模型值和经验值之间的乘离率。

关键词  -stable分布；厚尾；MDD、DaR和CDaR；蒙特卡洛模拟

中图分类号：F830.59           文献标识码：A

Heavy Tailed Distributions of Financial Assets and Popular Risk Measures

Abstract: The paper introduces normal distribution, t location-scale distribution, logistic distribution, extreme value distribution, alpha-stable distribution and kernel density estimation to fit the distribution of Shanghai composite index returns. The results show that the kernel density estimation fits the returns distribution better than others. Secondly, we define a fit index with focus on tail risk and degree index for risk measurement. The study shows that alpha-stable distribution is more suitable for degree in risk measurement at the 1% level. Moreover, we introduce the definition of harmonic alpha-stable distribution, and we find out a solution for isomorphic representation. Finally, MDD, DaR and CDaR are calculated empirically, and also in the Monte Carlo alpha-stable simulation. We obtain the bias between model-value and empirical-value.

Key words: alpha-stable distribution; heavy tails; MDD, DaR and CDaR; Monte Carlo simulation

引  言

 金融资产价格的分布一直倍受风险管理人士和相关学者的关注，如股票收益率、物价指数和汇率等，它是资产定价和风险管理的基础。早期的学者多假设资产收益率服从正态分布，例如我们所熟悉的均值方差模型、资本资产定价模型和Black-Scholes期权定价模型都假设资产价格收益率服从正态分布。然而，随着实证研究的深入，不少学者发现收益率并不服从正态分布，而是存在“尖峰厚尾”现象，一般还带有一定的偏度和位置参数的变化。Mandelbrot(1962，1963)在他的文章中认为股票收益率可以用特征指数小于2的稳定-列维以及稳定-帕累托分布描述收益率的“尖峰厚尾”现象。Blattberg & Gonedes (1974)将t分布和 -stable分布作比较最后得出t分布可以很好地描述收益率分布。Praetz(1972)也认为股票收益率近似服从t分布。Shimazaki 和Shinomoto (2009)用非参数估计中的核密度估计来拟合股票收益率分布，并给出了最优窗宽选择方法。John P. Nolan(2012) 用稳定分布刻画金融资产收益率分布的厚尾性，他提供的STABLE软件可以计算资产收益序列数据的特征参数、概率密度函数、累积分布函数和分位数等。

国内学者对资产收益率的研究也取得了一定成果。朱国庆等（2001）对上证综指的厚尾性进行研究并给出了收益率分布的尾部估计和分位点。封建强（2001）用非参数方法对股票收益率的对称性进行了研究，当考虑数据方差变动时，得出超额收益率分布基本上是对称的结论。徐龙炳(2001)用Nolan教授的STABLE软件对1993-2000年沪深两市的股票收益率进行拟合，得到了稳定分布的参数估计。黄德龙、杨晓光（2008）运用混合正态分布、指数幂分布、logistics分布和t分布对1996-2004的股票收益率进行拟合，最后经过比较得出t分布拟合优度是最高的。但是他们没有给出尾部损失风险的拟合优度检验，对于一定显著性水平下的厚尾性仍然拟合不足。刘红忠和何文忠（2010）运用核密度估计方法对1992-2009年的股票收益率进行了拟合和蒙特卡洛模拟检验，他们研究发现核密度估计技术可以很好地近似了真实股票收益率分布。但是他们没有对分布的尾部拟合效果进行量化分析，因为尾部发生损失的风险更值得关注，尾部拟合效果估计的好坏关系到风险管理的成败。

基于厚尾分布的风险度量方面，最近流行的MDD（Maximum Drawdown, 最大跌幅）、DaR（Drawdown at Risk, 风险跌幅）和CDaR（Conditional Drawdown at Risk, 条件风险跌幅）受到了投资者和风险管理人员的青睐。MDD由Acar&James(1997)提出，他们研究此统计量是否可以用来区分基金经理的业绩表现。Chekhlov等(2000)首次引入了DaR和CDaR风险度量方法进行资产组合投资管理。

本文所做的工作有：（1）运用STABLE软件对1997年1月6日至2012年4月25日的上证综合指数收益率数据进行拟合，最后得到了稳定分布的参数估计；（2）将参数估计和非参数估计结果进行整体拟合效果比较分析，得到了整体拟合优度的大小关系；（3）对损失尾部进行了重点拟合优度研究和衡量风险程度研究，通过设定相关指标给出了显著性水平为1%和5%下的不同分布的尾部风险拟合和衡量风险程度指标结果；（4）发现了带有位置-尺度参数的t分布与 -stable分布具有很大程度的共线性，并对它们进行了计量回归分析；（5）首次提出了调和 -stable分布的定义，经过计量分析得到了具体的一个同构表示解；（6）本文给出了蒙特卡洛 -stable分布模拟和经验值下的MDD、DaR、CDaR、AvDD、VaR和CVaR，并得到了模型值和经验值之间的乘离率。