（1.江西财经大学信息管理学院；2.井冈山大学数理学院）

【摘要】空间单元大小以及其它的经济特征上的差异，常常会导致空间异方差问题。本文给出了广义空间模型异方差问题的三种不同估计方法。第一种方法是将异方差形式参数化，来克服自由度的不足，使用ML估计进行实现。而针对异方差形式未知时，分别采用了基于2SLS的迭代GMM估计和更加直接的MCMC抽样方法加以解决,特别是MCMC方法表现得更加优美。蒙特卡罗模拟表明，给定异方差形式条件下， ML估计通过异方差参数化的方法依然可以获得较好的估计效果。而异方差形式未知的情况下，另外两种方法随着样本数的增大时也可以与ML的估计结果趋于一致。

关键词  广义空间模型 异方差 MCMC  Metropolis-Hastings抽样

中图分类号  F224.0          文献标识码 A

Efficient Estimation of General Spatial Model with Unknown Heteroscedasticity

Abstract: The difference of spatial unit size and other economic characteristics often lead to spatial variance problem. This paper presents three kinds of estimation methods for heteroscedasticity problem of general spatial model. The first method is to use ML estimation to overcome the lack of degrees of freedom by parametric heteroscedastic form. When the forms of heteroskedasticity is unknown, we solve it by using the iterative GMM based on 2SLS estimation and more directly MCMC sampling method. And MCMC method is even more graceful. Monte Carlo simulation founds, the MLE is still a better estimate by parametric heteroscedastic style when the forms of heteroskedasticity is known. When the forms of heteroskedasticity is unknown, with increasing sample size, two other methods can be gradually consistent with ML estimation.

Key words: General Spatial Model; Heteroscedasticity; MCMC; Metropolis-Hastings Sampling

引 言

现在空间计量已经逐步发展为独立的、系统的、主流的计量经济研究方法，在经济领域的研究中得到了越来越高的关注。空间计量将“空间邻近”的影响纳入到了计量模型中，而基于地理空间（欧氏空间）的这一概念还可以进一步拓展到了诸如社会结构、经济结构以及人与人之间联系的紧密程度等方面（孙洋，2008）。从而对空间计量的关注也并不局限于经济学，在其它社会科学中也得以反映，空间计量有着广泛的应用空间。从空间计量的应用领域可以看到大量通过空间分析方法研究工资、教育、医疗、就业、犯罪、知识扩散、房地产与住房价格、省域科技创新、经济增长的收敛性、城市公共服务等相关问题的实证文献。空间计量应用的学科领域也遍及金融、房地产、经济地理、城市与区域、旅游、流行病学、环境科学、生态学等。正如人类的一切经济行为都是在特定的地理空间上进行的，把空间效应的分析纳入到经济的研究框架也是自然而然的事。而早期的主流经济分析中都以空间的独立同质性为假设，忽视了空间效应在经济学分析中作用，这会导致研究的结果存在一些偏误和所得到的推论缺乏应有的解释力。

空间效应是空间计量经济学研究的主要问题。Anselin（2001）把空间效应概括为空间交互作用（Spatial Interaction Effects）和空间结构变化两个方面。空间交互作用更多体现在空间依赖（spatial dependence）上，而空间结构变化则主要体现在空间异质性（spatial heterogeneity）上（乔宁宁，2013）。空间依赖又称为空间自相关，可以进一步分为空间实质相关（spatially substantive dependence）和空间扰动相关（spatial nuisance dependence），它们都反映了样本在空间上非独立。空间实质相关主要由被解释变量或解释变量的空间相关性所引起的，而空间扰动相关是由没有作为解释变量（有可能是遗漏解释变量或不可观测）的因素所引起的空间相关性，这种空间自相关被归入了随机干扰项。空间异质性又被称为空间差异性，Anselin等（1998）指出空间异质性是经济行为或经济关系在空间上的不稳定性，具体体现为所研究的变量、模型参数和误差项方差随空间单元的变化而变化，从而异方差也是空间异质性的一种体现。

同方差假设是经典计量分析中较为常用的模型设定，它简化了模型的估计程序，然而限制了模型的使用范围。且在经典计量分析中，一般把异方差产生的原因归纳为四种情况：模型设定偏误（包括遗漏变量和模型形式误设）；数据测量误差；截面数据中总体各单位的差异；使用分组数据进行估计（可能存在聚类异方差）。由于空间单元大小以及其它的经济特征上的差异，会导致空间上的非匀质性带来的空间异方差问题，且在空间计量模型中空间单元之间的差异更加多元化，进而导致多种复杂的未知异方差形式的存在。另外，由于空间结构的复杂性，在做空间计量模型分析时需要构造反映真实的空间依赖关系的空间加权矩阵，而实际上无法找到能够完全刻画实际空间依赖关系的空间加权矩阵，即不存在最优的空间加权矩阵。当存在一些空间加权矩阵的误用时，也会导致所设定的模型可能存在空间异方差。从而，在空间计量模型中异方差问题变得更为常见。Lesage（2009）认为空间数据样本中异方差和异常值会经常出现，空间单元自身的差异（如规模、大小等）表现出固有的空间异质性，使得模型存在异方差的假设比高斯-马尔科夫同方差假设更适合。另一些实证研究的文献也表明，在空间计量模型的很多实证研究中都必须考虑异方差因素，如Ertur和Koch（2006）。Gianfranco（2010）也认为空间单元在许多重要特征上存在差异，同方差是一个过强的假设，在许多空间的应用问题中并不成立。

最大似然估计（MLE）和广义矩估计（GMM）是空间计量模型的最常用的估计方法。一般MLE（包括QMLE）必须满足残差的分布已知且为同方差的情况，GMM估计不需要假设残差的分布且不论参数是异方差和同方差估计量都是渐近有效的。当残差满足正态分布和同方差假设时，GMM的参数估计效率低于MLE。在模型存在异方差且异方差的结构已知时，可以采取异方差参数化后的最大似然估计，而即使异方差形式未知，通过恰当地使用GMM估计仍然能得到一致有效的估计量。Fleming（2004）在评述空间相关的模型估计方法时认为马可夫链蒙特卡罗方法是最灵活的方法，它不但可以处理空间自回归模型和空间误差自回归模型，甚至适用存在异方差时的通用形式。特别是对于异方差形式未知的模型，使用马尔科夫链蒙特卡罗方法是一种很好的选择。Cameron（2005）认为贝叶斯方法能产生不算极好的估计值，但在很多情况下仍能获得有效的估计结果。Xu（2005）给出了带未知异方差的空间自回归模型（SAR）的GMM估计。Anselin等（2008）和Baltagi等（2008）给出了使用空间异方差自相关一致（SHAC）估计的两个典型的实证应用。Gianfranco（2010）认为由Lee（2004）提出的空间模型新息同方差假设下的拟最大似然估计理论并不能搬到异方差假设情况下。基于此，Arraiz（2010）给出了异方差情况下最大似然估计不一致的模拟证据。Anselin（2011）给出了带异方差和不带异方差的空间误差模型（SEM）的GMM估计。

本文针对更为一般的空间计量模型（广义空间模型）使用三种不同的异方差处理思路给出了三种对应的估计方法。由于异方差问题，使用最大似然估计随样本变化的方差时，会由于自由度的不足而无法估计。这时如果可以将异方差形式参数化，即把异方差的形式设定为特定的含参数的函数形式，就能克服自由度的不足，仍然可以使用最大似然估计。但是对于一些复杂的未知异方差形式并不能得到恰当的参数形式，就需要寻找能够不用考虑异方差的结构就能够有效地解决这一问题的估计方法。针对这种情况我们给出了基于2SLS的迭代GMM和特定的MCMC方法（带随机游走M-H抽样的Gibbs抽样），并通过蒙特卡罗模拟对这两种方法与参数化异方差形式的MLE进行了比较。